Vectores en el espacio, geometría.

Vamos con una orientación:

a)

Tienes una ecuación cartesiana implícita del plano π₁, y observa que uno de sus vectores normales queda expresado (recuerda: las componente de un vector normal a este plano son los coeficientes que multiplican a las incógnitas en su ecuación implícita):

n₁ = < 2 ; -1 ; -1 >.

Tienes un sistema de ecuaciones vectoriales paramétricas del plano π₂ y observa que dos vectores paralelos a este plano tienen las expresiones (recuerda: las componentes de estos vectores son los coeficientes que multiplican a cada uno de los parámetros):

u = < 1 ; 1 ; 1 >,

v = < 0 ; 1 ; -1 >,

a continuación planteas la expresión de un vector normal a este plano, como el producto vectorial (o producto "cruz") de estos dos vectores, y queda:

n₂ = < -2 ; 1 ; 1 >.

Observa que los vectores normales que hemos obtenido son opuestos, por lo que tienes que dichos vectores son múltiplos escalares uno del otro, y ya tienes establecido los planos son paralelos y, para determinar si son coincidentes o no lo son, puedes considerar el punto que pertenece al plano π₂, cuyas coordenadas son los términos numéricos en sus ecuaciones vectoriales paramétricas: A(-1;1;0),

a continuación reemplazas las coordenadas de este punto en la ecuación correspondiente al primer plano, y queda:

2*(-1) - 1 - 0 + 4 = 0,

aquí resuelves en el primer miembro, y queda:

1 = 0,

que es una igualdad Falsa (o Absurda), por lo que puedes asegurar que estos dos planos son paralelos disjuntos, y no comparten puntos.

b)

Vamos con un desarrollo por pasos.

1°)

Con el vector normal del plano π₁: n₁ = < 2 ; -1 ; -1 >, y con el punto en estudio: P(1;0;0), planteas un sistema de ecuaciones cartesianas paramétricas para la recta normal a este plano, y a la que pertenece el punto en estudio, y queda:

x = 1 + 2*t (1a),

y = -1*t (1b),

z = -1*t (1c),

con: t ∈ R.

2°)

A fin de determinar el punto de intersección entre el plano π₁ y la recta normal, sustituyes las expresiones señaladas (1a) (1b) (1c) en la ecuación de dicho plano, y queda:

2*(1 + 2*t) - (-1*t) - (-1*t) + 4 = 0,

a continuación distribuyes en el primer término, reduces términos semejantes, y queda:

6t + 6 = 0,

y de aquí despejas:

t = -1,

ahora reemplazas este valor paramétrico en las ecuaciones paramétricas señalada (1a) (1b) (1c), resuelves, y queda:

x = -1,

y = 1,

z = 1,

y ya tienes establecido el punto A(-1;1;1), que es la intersección de la recta normal en estudio, con el plano π₁.

3°)

Plantesa la expresión del vector aplicado en el punto P, y cuyo extremo es el punto A, y queda:

w = PA = < -1 - 1 ; 1 - 0 ; 1 - 0 > = < -2 ; 1 ; 1 >,

a continuación planteas la expresión equivalente a este vector, pero aplicada en el punto A y con extremo en el punto Q(a;b;c) cuyas coordenadas debes determina, y queda:

AQ = w,

aquí planteas las expresiones vectoriales en ambos miembros, y qued:

< a - (-1) ; b - 1 ; c - 1 > = < -2 ; 1 ; 1 >,

ahora, por igualdad de dos expresiones vectoriales, igualas componente a componente, y queda el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

a - (-1) = -2, y de aquí despejas: a = -3,

b - 1 = 1, y de aquí despejas: b = 2,

c -1 = 1, y de aquí despejas: c = 2,

y ya tienes establecido que el punto simétrico el punto P con respecto al plano π₁, queda expresado:

Q(-3;2;2).

c)

Vamos con un desarrollo por pasos.

1°)

Tienes las ecuaciones cartesianas continuas (o simétricas) para la recta r, a continuación igualas a cada uno de sus miembros a un parámetro "p", y queda el sistema de tres ecuaciones con cuatro incógnitas:

(x - 1)/1 = p, y de aquí despejas: x = 1 + p (1a),

y/2 = p, y de aquí despejas: y = 2p (1b)

(z - 2)/(-1) = p, y de aquí despejas: z = 2 - p (1c),

con el parámetro p perteneciente al conjunto de los números reales.

2°)

A fin de determinar la intersección del plano en estudio con la recta r, sustituyes las expresiones paramétricas señaladas (1a) (1b) (1c) en la ecuación de dcho plano, y queda:

2*(1 + p) - 2p - (2 - p) + 4 = 0,

a continuación distribuyes en el primer término y en el tercer término, y queda:

2 + 2p - 2p - 2 + p + 4 = 0,

ahoraí reduces términos semejantes (observa que tienes cancelaciones de términos opuestos), y queda:

p + 4 = 0,

y de aquí despejas:

p = -4,

a continuación reemplazas este último valor remarcado en las ecuaciones paramétricas señaladas (1a) (1b) (1c), las resuelves, y queda:

x = -3,

y = -8,

z = 6,

que son las coordenadas del punto de intersección del plano π₁ con la recta r, cuya expresión es:

T(-3;-8;6).

Espero haberte ayudado.