Buenas estoy peleandome con este ejercicio y me gustaria confirmar sus limites en cartesianas.
entiendo que el dz va del paraboloide de dentro 2x^2 +2y^2 ≤ z ≤ x^2 + y^2 hasta la de afuera y ahora siguiendo la parabola hasta la recta x^2 ≤ y ≤ x e igualando las x va de
0 ≤ x ≤ 1.
no estoy muy seguro si las cartesianas son asi.
Saludos.
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Para la resolución del ejercicio con coordenadas cartesianas, tienes todo correctamente planteado, y el sólido queda descrito por el sistema de tres inecuaciones dobles:
x2 + y2 ≤ z ≤ 2(x2 + y2),
x2 ≤ y ≤ x
0 ≤ x ≤ 1,
y la expresión del volumen del sólido queda:
V = 0∫1 x²∫x x²+y²∫2(x²+y²) 1*dz*dy*dx,
a continuación integras con respecto a la variable "z" (indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow), evalúas, resuelves, y queda:
V = 0∫1 x²∫x [ z ]*dy*dx = 0∫1 x²∫x (x2 + y2)*dy*dx,
a continuación integras con respecto a la variable "y" (indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow), evalúas, resuelves, y queda:
V = 0∫1 [ x²y + y³/3 ]*dx = 0∫1 ( (x³ + x³/3) - (x⁴ + x⁶/3) )*dx = 0∫1 (4x³/3 - x⁴ - x⁶/3)*dx,
a continuación integras con respecto a la variable "x" (indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow), evalúas, resuelves, y queda:
V = [ x⁴/3 - x⁵/5 - x⁷/21 ] = ( 1/3 - 1/5 - 1/21 ) - 0 = 3/35 ≅ 0,0857.
Espero haberte ayudado.
Sabias que Isaac Barrow fue el profesor de Newton en Cambridge ???
Así es, la primera persona en formular explícitamente las ideas de límites y derivadas fue sir Isaac Newton (1642-1727) en la década de 1660 y simultáneamente Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Pero Newton reconoció: “Si he visto más lejos que otros hombres, es porque he estado parado sobre los hombros de gigantes”. Dos de esos gigantes fueron, precisamente, Pierre Fermat (1601-1665) y su maestro en Cambridge, Isaac Barrow (1630-1677).