Volumen encerrado

Observa que la función cuya expresión tienes en tu enunciado:

f(x;y) = 1 + e^x*seny

toma valores mayores o iguales que cero en la región D incluida en el plano OXY (recuerda que su ecuación es: z = 0), descrita por los intervalos:

-1 ≤ x ≤ 1,

0 ≤ y ≤ π ;

luego, puedes plantear el volúmen del sólido delimitado por esta región y la gráfica de la función, por medio de la integral doble:

Vol = _-1∫¹ ₀∫^π ( 1+e^x*seny - 0 ) * dy *dx = _-1∫¹ ₀∫^π (1 + e^x*seny) * dy *dx, 

a continuación integras para la variable "y" (indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow), y queda:

Vol = _-1∫¹ [ y - e^x*cosy ] * dx, 

aquí evalúas para la variable "y", y queda:

Vol = _-1∫¹ ( (π - e^x*cosπ) - (0 - e^x*cos(0) ) * dx = _-1∫¹ ( π + e^x + e^x ) * dx = _-1∫¹ ( π + 2*e^x ) * dx,

a continuación integras para la variable "x" (indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow), y queda: 

Vol = [ π*x + 2*e^x ],

aquí evalúas para la variable "x", y queda: 

Vol = (π + 2*e) - (-π + 2*e^-1) = 2π + 2*e - 2*e^-1 = 2*(π + e - e^-1).

Espero haberte ayudado.