Duda de un ejercicio resuelto

A ver si aclaramos tu duda.

Vamos con una orientación.

Tienes el paso (3°) en nuestro desarrollo:

3°)

Planteas la ecuación de la trayectoria de Tiro Oblicuo (o Movimiento Parabólico), y queda (recuerda que el punto de lanzamiento es el origen de coordenadas):

y = x*tanθ - (1/2)*(g/(vᵢ²*cos²θ))*x² (3). 

Ahora vamos con el paso (4°):

4°)

Como tienes en tu enunciado que el vértice "superior" A(d;h) pertenece a la trayectoria de la partícula, sustituyes las expresiones de sus coordenadas en la ecuación señalada (3), y queda:

h = d*tanθ - (1/2)*(g/(vᵢ²*cos²θ))*d²,

a continuación restas d*tanθ en ambos miembros, y queda:

h - d*tanθ = -(1/2)*(g/(vᵢ²*cos²θ))*d² (4). 

Y ahora vamos con el paso (5°):

5°)

Como tienes en tu enunciado que el vértice B(b;0) también pertenece a la trayectoria de la partícula, sustituyes las expresiones de sus coordenadas: x = b, y = 0, en la ecuación señalada (3), y queda: 

0 = b*tanθ - (1/2)*(g/(vᵢ²*cos²θ))*b²,

a continuación restas d*tanθ en ambos miembros, y queda: 

-b*tanθ = -(1/2)*(g/(vᵢ²*cos²θ))*b²,

aquí multiplicas por -1 en ambos miembros, y queda:

b*tanθ = (1/2)*(g/(vᵢ²*cos²θ))*b² (5). 

Y ahhora vamos con los pasos (6°) (7°):

6°)

Divides miembro a miembro la ecuación señalada (4) entre la ecuación señalada (5), y queda la ecuación (presta atención al signo en el segundo miembro, y observa que simplificamos su expresión):

(h - d*tanθ)/(b*tanθ) = -d²/b²,

a continuación multiplicas por b² y por tanθ en ambos miembros, y queda:

(h - d*tanθ)/(b*tanθ)*b²*tanθ = -(d²/b²)*b²*tanθ, 

ahora simplificas en ambos miembros, y queda:

(h - d*tanθ)*b = -d²*tanθ,

aquí ordenaa factores en el primer miembro, y queda:

b*(h - d*tanθ)b = -d²*tanθ, 

ahora sustituyes la expresión señalada (1) en el primer término en el agrupamiento en el primer miembro, y queda:

b*(d*tanα - d*tanθ) = -d²*tanθ, 

aquí distribuyes en el primer miembro, y queda:

b*d*tanα - b*d*tanθ = -d²*tanθ,  

ahora extraes factores comunes en el agrupamiento, y queda:

b*d*(tanα - tanθ) = -d²*tanθ, 

a continuación divides por d en ambos miembros, y queda:

b*d*(tanα - tanθ)/d = -d²*tanθ/d,  

aquí simplificas en ambos miembros, y queda:

b*(tanα - tanθ) = -d*tanθ (6).

7°)

Sustituyes la expresión señalada (2) en el primer factor en el primer miembro en la ecuación señalada (6), y queda:

d*(tanα/tanβ + 1)*(tanα - tanθ) = -d*tanθ,

aquí divides por d en ambos miembros, y queda:

d*(tanα/tanβ + 1)*(tanα - tanθ)/d = -d*tanθ/d,

a continuación simplificas en ambos miembros, y queda:

(tanα/tanβ + 1)*(tanα - tanθ) = -tanθ, 

ahora distribuyes en el primer miembro, y queda:

(tanα/tanβ)*tanα - (tanα/tanβ)*tanθ + tanα - tanθ = -tanθ,  

aquí resuelves en los dos primeros términos, y queda:

tan²α/tanβ - tanα*tanθ/tanβ + tanα - tanθ = -tanθ, 

a continuación sumas tanθ en ambos miembros, y queda:

(tan²α/tanβ)*(tanβ/tanα) - (tanα*tanθ/tanβ)*(tanβ/tanα) + tanα*(tanβ/tanα) = 0,

ahora simplificas en los tres términos en el primer miembro, y queda:

tanα - tanθ + tanβ = 0,

ahora sumas tanθ en ambos miembros, y queda:

tanα + tanβ = tanθ, 

y a continuación expresas a esta ecuación tal como la lees de derecha a izquierda, y queda:

tanθ = tanα + tanβ. 

Espero haberte ayudado.